Que yo sepa el banco por antonomasia en Internet, en España, es Patagon.es, el anteriormente conocido como OpenBank. Es dependiente del BSCH, una de las manos fuertes a nivel mundial en el sector, y es el unico banco exclusivamente por internet (en España, ya digo). Yo tengo una cuenta con ellos desde hace dos años y nunca he tenido problemas.
Apate de eso todo banco que se precie o que no se precie tiene su correspondiente pagina web desde la que puedes hacer todo lo que mas puedes hacer a menudo. Tienes a Bankinter, que es muy completo, a bbva, a oficinadirecta.com del Banco Pastor, e incluso Caja Madrid y muchos otros en definitiva.